Probabilidades. Parcial II. Clases Prácticas

Mayo 23, 2008

Deja un Comentario » | Apuntes y Libros de Probabilidades | Permalink
Escrito por esmate

Probabilidades. Parcial II. Clases Teóricas

Mayo 23, 2008

* – Las clases se basan en las transparencias que están disponibles en la página de materia. Los apuntes son comentarios adicionales a lo que se expone en esas transparencias.

10 de Junio: Se explicó el concepto de Integral de Riemann-Stieltjes. La Dra. Martinez sugirió su lectura del apunte “Notas de Probabilidad y Estadística” de Victor Yohai, al que se puede acceder a traves del post “Apuntes de Probabilidades”

23 de Mayo: Se cuenta con el audio de las clases del 8/5 y del 20/5 donde se hace referencia al tema Generación de Números al azar. Apenas se transcriban a papel se va a adjuntar como un apunte extra.

Deja un Comentario » | Apuntes y Libros de Probabilidades | Permalink
Escrito por esmate

Foro de discusión

Mayo 11, 2008

PROCESO DE POISSON (¿Visión ingenieril?) Por Marcelo.

Quisiera compartir con Uds. un enfoque más terrenal del Proceso de Poisson. Se trata de una visión orientada principalmente a convencer al sentido común, sin hacer uso de rigurosas formulaciones matemáticas.

Pensemos en eventos que pueden producirse en un intervalo de tiempo t de estudio. Por ejemplo, los sismos que pueden ocurrir durante un mes en una determinada localidad, los autos que ingresan en una estación de servicio durante la mañana, etc.

Pensemos también en un parámetro LAMBDA, que indique la frecuencia característica de ocurrencia de tales eventos por unidad de tiempo.  En este sentido, podríamos imaginar para el caso de los sismos, 20 sismos por año; para el de los autos, 100 autos por día. Aquí cabría un cuestionamiento acerca de la determinación de LAMBDA, pero propongo obviar esto y seguir adelante. Por lo pronto, el producto LAMBDA x t representaría el número de ocurrencias del evento en el período de tiempo t.

Ahora bien, representemos gráficamente el período de tiempo t con un segmento.  Dividámoslo en unos cuantas n subdivisiones (que no se solapen), por lo tanto cada una de longitud t/n. Si nos preguntamos cuál es la probabilidad de que en el período de tiempo t ocurran k eventos, para poder responder fácilmente la cuestión el truco está en formular la pregunta de la siguiente manera alternativa: ¿Cuál es la probabilidad de que, de las n subdivisiones tengamos k subdivisiones con la ocurrencia del evento?

Aquí es necesario aclarar algunas hipótesis “implícitas” que estamos aceptando: 1) en el intervalo de tiempo dado por una subdivisión de tamaño t/n no puede ocurrir más de un evento, lo cual es de esperar cuanto más pequeño sea el intervalo; 2) la frecuencia característica de ocurrencia del evento LAMBDA sigue siendo válida para cualquier subdivisión del intervalo de tiempo.

Aclarado esto, continuemos con el pensamiento. Dijimos que la probabilidad se reduce a determinar de cuántas maneras es posible que se den k subintervalos de tamaño t/n de un total de n. Típicamente se trata de una distribución binomial, donde la probabilidad de ocurrencia del evento es:

* Probabilidad de ocurrencia del evento = (nro. de subintervalos de ocurrencia)/(nro. total de subintervalos) = (LAMBDA x t) / n

Luego, la probabilidad de que ocurran k eventos en el intervalo de tiempo t resulta:

P (X=k) = (n k) ( LAMBDA x t / n )^k (1-LAMBDA x t / n) ^(n-k)

Si aproximamos esta probabilidad con Poisson, pensemos que el parámetro característico sería:

Parámetro de Poisson: n p = n (LAMBDA x t/n ) = LAMBDA x t

Luego:

P (X=k) = exp(LAMBDA x t) (LAMBDA  x t)^k / k!

  

Deja un Comentario » | Probabilidades | Permalink
Escrito por esmate