Ejercicio 2: La urna A contiene N bolillas (N>2), una negra y las demás blancas. La urna B contiene N bolillas blancas y ninguna negra. Se extrae una bolilla de cada urna simultáneamente y se coloca en la otra, repitiéndose este procedimiento cierto número de veces. Probar que la probabilidad p_n de que, después de la n-ésima repetición, la bola negra se encuentre en la urna A, está dad por:
p_n= 1/2 * [1+(1-2/N)^n] (1)
Solución: Lo probamos por inducción; para ello suponemos (1) cierta y plantemos la probabilidad para la “n+1″-ésima repetición de la siguiente manera:
p_(n+1) = probabilidad de que luego de la “n+1″-ésima repetición la bola negra esté en la urna A =
= P (en la nª en A y en la (n+1)ª en A, O BIEN, en la nª en B y en la “n+1″ª en A) =
= P (en la nª en A y en la (n+1)ª en A) + P (en la nª en B y en la “n+1″ª en A) =
= P (en la (n+1)ª en A | en la nª en A) * P(en la nª en A) + P (en la (n+1)ª en A | en la nª en B) * P(en la nª en B) =
= (1-1/N) * p_n + 1/N * (1-p_n) = 1/N * p_n * (1-2/N) =
= 1/N * 1/2 * [1+(1-2/N)^n] * (1-2/N) = … operando…
= 1/2 * [ 1+(1-2/N)^(n+1)]
Por lo tanto, (1) es válido para “n+1″.
